数学の公式集(余計なコメント付き)

置換積分

∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt

t=g(x)と置換。


部分積分

∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx


定積分の場合

∫(a,b)f(x)dxはf(x)をx=aからbまで積分、
[f(x)](a,b)はf(a)-f(b)と言う意味。

∫(a,b)f(g(x))g'(x)dx=∫(α,β)f(t)dt

t=g(x)と置換
α=g(a)、β=g(b)

部分積分

∫(a,b)f'(x)g(x)dx=[f(x)g(x)](a,b)-∫(a,b)f(x)g'(x)dx


最初は部分積分と置換積分どちらを使っていいかわかりにくいと思います。

慣れてきたら、わかりますが例えば
x^2cosxみたいな形ならx^2の方を積分、cosxの方を微分していく部分積分でとか色々あります。


部分積分の覚え方は

まず咳をしてから微分する

とかありますが、校長先生が朝礼で話す時にまず

げほげほ。
ぶへらっ

って咳払いをしてから話すイメージなんかな。

数学でもそういう語呂あわせってたまにありますね。

そういえばどっちが十分条件で必要条件かって言う語呂もありました。
語呂合わせもちょっとあほみたいな所ありますが、便利と言えば便利です。

ただちょっと数学の語呂は難しいけどな。

基本的な乗法公式、因数分解。

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

因数分解は右から左への変形です。

2次方程式は

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

下の方は主に高校でやるもので、タスキ掛けとかよく使います。


以下は高校で出るような公式。

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc

2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

一番下はマニアックかもしれませんが、これを使う応用問題とかたまに出ます。

(a+b)^3とかは二項定理を習うと(a+b)^nを展開したらどんな式になるかわかってきます。

(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3はa=bでない時は初項a^2、等比b/aの3項の等比数列の和とも考えられます。
a^2+a^2b+b^2=a^2・(1-(b/a)^3)/(1-b/a)
=(a^3-b^3)/(a-b)


数列を習うのはだいぶん後からになりますが、その時にチェックしてみるといいでしょう。

中学の因数分解の公式の図形的な覚え方

連立方程式の解き方


例
4x+7y=5
2x-3y=9


代入法で解く

4x+7y=5…�@
2x-3y=9…�A

�Aから左辺をxだけにして
2x=9+3y
x=9/2+3/2y
これを�@に代入して
4(9/2+3/2y)+7y=5
18+6y+7y=5
13y=-13
y=-1
これをx=9/2+3/2yに代入して
x=9/2-3/2
=3

消去法で解く

4x+7y=5…�@
2x-3y=9…�A

xの係数を同じにして
�A×2より
4x-6y=18…�A'

�@と�A'を辺々引いて4xを消去
�@-�A':
7y-(-6y)=5-18
13y=-13
y=-1
これを�@に代入して
4x-7=5
4x=12
x=3


連立方程式は小学生ではつるかめ算で求まります。
つるかめ算は特に進学塾とかで熱心に習いますが最初、こんなの求まるの凄いなって思いました。

ツルとカメが全部で8匹います。
足の数の合計は22本です。
ツルは何匹でしょう？


これで求まるのが凄いですね。

と言うよりも、ツルの足とカメの足は全然違うから一緒に数えるわけがないので問題の意味がよくわかりませんよね。

連立方程式にすればツルx匹、カメy匹とすれば
ツルの足は2x本、カメの足は4y本です。
だから
x+y=8…�@
2x+4y=22…�A
これを解きます。
�@からx=8-y
これを�Aに代入して
2(8-y)+4y=22
16+2y=22
2y=6
y=3
これをx=8-yに代入して
x=5
だからツルは5匹、カメは3匹です。


つるかめ算では、8匹全部ツルだと考えると足の数は2×8=16で22-16=6から6本足が足りなくなります。
所でツルを一匹カメと交換すると足は4-2=2本増えます。
何匹カメと交換すればいいのか言うと6本足りないので
6÷2=3
匹です。

だからツルは8-3=5匹で、カメは3匹です。

○平行四辺形の定義

二辺の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形と言う。


○平行四辺形の性質

性質１、２組の対辺はそれぞれ等しい。

性質２、２組の対角はそれぞれ等しい。

性質３、対角線はそれぞれに中点で交わる。


○平行四辺形になるための条件

2組の対辺がそれぞれ平行である。

2組の対辺がそれぞれ等しい。

2組の対角がそれぞれの中点で交わる。

1組の対辺が平行でその長さが等しい。


○平行四辺形の面積


○平行四辺形の重心

対角線の中点(二つの対角線の交点)



最初多くてややこしいですが、平行四辺形になるための条件を覚えていたらそれが平行四辺形の性質でも定義でもあるから平行四辺形になるための条件５つを覚えておいたらよいと思います。

でも全部教科書見ずに言えるか？みたいなことまでしなくても良いかもしれませんが、中学の試験で数学が苦手な子はやっといたら点になるかもしれません。


平行四辺形と言えば、ちょうど図工の時間に作った木の箱にうへ〜って上に乗って潰れる瞬間の形です。

はい、わかりにくい例ですね。


まあ図工の時間に作ったものは大切に扱えってことです。

小学生の時の、図工は結構あれはあれで算数の力を伸ばしてるような気がするからな。

僕も図工でポケットティッシュ入れを作って、ただの木の入れ物に下に穴が空いててポケットティッシュを取り出すと中に入ってるポケットティッシュが押し出されて次のポケットティッシュがとれるものを作りましたが、世の中そんな上手くいかないものですね…


僕はどんくさいから、女子とかに

「もぉ〜」

とか言いながら、やってもらったりしてました。

積分の公式

不定積分

数学IIで習う基本的な関数の積分
以下Cは積分定数を表す。

∫x^ndx=1/(n+1)・x^(n+1) + C(nは0以上の整数)


∫(ax+b)^ndx = 1/a・(ax+b)^(n+1)/(n+1) + C (nは自然数でa≠0)


数学IIIで習う基本的な関数の積分

∫x^αdx=1/(n+1)・x^(n+1) + C(α≠-1)

∫1/xdx = log|x| + C

∫e^xdx = e^x + C

∫sinxdx = -cosx + C

∫cosxdx = sinx + C



これらの積分は微分の反対なので、微分さえ覚えていれば大丈夫です。

積分と言えば、夢や希望を感じますがだんだん感じなくなるかもしれません。

あほみたいに積分の計算をさせられるからです。

でも、臨界点を突破して積分し続けたら、うへ〜って半笑いになってきて気持ちよくなります。

しかし積分ハイではありません。

計算ハイです。

そんな微妙なことどうでもええわ！


積分されるな、積分しろ！

私は積分していないのだろうか？いや、積分しているであろう。

積分を馬鹿にするやつは、余裕で積分が出来る。



これくらいのことがわかれば大丈夫だと思います。


積分って言うのは意外なとこに表れていると思います。


三角錐の面積
1/3×底面積×高さ
の1/3は積分で出てきてるのがわかると思います。

二次元の断面を積分するから1/3


三角形の面積
1/2×底辺×高さ
の1/2のとこです。

一次元の直線を積分するから1/2